Unidad 5: Análisis en el dominio de la frecuencia de sistemas discretos lineales invariantes en el tiempo

5.1 Sistemas discretos

Un sistema es una transformación aplicada a una señal de entrada x) para obtener una señal de salida y. A dicha transformación se le denomina función de transferencia, y habitualmente se representa mediante una T. Los sistemas discretos son aquellos que trabajan con señales discretas.

En si un sistema discreto es un operador matemático que transforma una señal en otra por medio de un grupo fijo de reglas y funciones. La notación T [.] es usada para representar un sistema general. En el cual, una señal de entrada x(n) es transformada en una señal de salida y(n) a través de la transformación T [.]. Las propiedades de entrada-salida de cada sistema puede ser especificado en algún número de formas diferentes.

Áreas de Aplicación

Algunos ejemplos de sistemas discretos son:

Radar

Sonar

Equipos biomédicos tales como

-Tomógrafos

-Econógrafos

-Resonancia Magnética

-Electrocardiógrafos

Computadores

Equipos industriales

Equipos militares

Clasificación de los sistemas discretos

Tanto en el análisis como en el diseño de sistemas es conveniente realizar una clasificación de los mismos según las propiedades generales que lo satisfacen. De hecho, las técnicas matemáticas que se desarrollan para analizar y diseñar sistemas en tiempo continuo dependen fuertemente de las características generales de los sistemas que se consideren. Por esta razón, es necesario desarrollar una serie de propiedades y categorías que puedan usarse para describir las características generales de los sistemas en tiempo discreto.

Se debe destacar que, para que un sistema disponga de una propiedad determinada, está debe cumplirse para cada señal posible en la entrada del sistema. Si una propiedad se satisface para algunas señales de entrada pero no para otras, el sistema no posee tal propiedad. En ese caso, un contraejemplo es suficiente para demostrar que un sistema no posee tal propiedad.

Sistemas Estáticos y Sistemas Dinámicos

Un sistema en tiempo discreto se denomina estático o sin memoria si su salida en cualquier instante n depende a lo sumo de la muestra de entrada en ese mismo instante, pero no de las muestras pasadas y/o futuras en la entrada. En cualquier otro caso, se dice que el sistema es dinámico o con memoria. Si la salida del sistema en el instante n está determinada completamente por las muestras de entrada en el intervalo de n – N a n, entonces, se dice que el sistema tiene memoria de duración N. Por otro, si N = 0, se dice que el sistema es estático.

Si N se encuentra en el intervalo de [0, ∞), entonces se dice que el sistema tiene memoria finita, y finalmente, si N = ∞, entonces se dice que el sistema tiene memoria infinita.

Propiedades de los sistemas discretos

Memoria: Un sistema se considera con memoria cuando la salida no solo depende del valor de la entrada en el instante actual. En el caso contrario el sistema se denomina sin memoria.

Un ejemplo de sistema sin memoria es el multiplicador, son sistemas con memoria el acumulador, la media móvil.

Casualidad: Se dice que un sistema es causal, si el valor de salida en cada instante, depende del instante actual y los pasados, es decir no depende de los valores futuros de la señal de entrada. Todo sistema sin memoria es causal. El acumulador es un ejemplo de sistema causal, sin embargo la media móvil depende de instantes futuros y en consecuencia no es causal.

Invertibilidad: Un sistema es invertible cuando para cada valor distinto de la entrada proporciona un valor distinto en la salida, y además, es posible recuperar la entrada a partir de la salida.

Estabilidad: Un sistema se dice que es estable, cuando ante una entrada acotada, la salida del mismo también lo es. El acumulador es un ejemplo de sistema inestable como se puede observar ante la entrada del escalón unitario.

Invariante en el tiempo: Un sistema es invariante en el tiempo cuando la aplicación de un retardo en la señal entrada, equivale al mismo retardo en la señal de salida. El sistema multiplicador es un ejemplo de sistema invariante en el tiempo.

Linealidad: Un sistema, cuya función de transferencia se representa por T [·], se dice que es lineal, si considerando dos señales cualesquiera x1(n) y x2(n).

X1(n) −→y1(n) =T [x1(n)].

Representación de sistemas discretos mediante diagramas de

Bloques

Es de importancia introducir los conceptos de la representación de los sistemas en tiempo discreto mediante diagramas a bloques debido a que puede de alguna forma simplificar la tarea de implementación de dichos sistemas en esquemas computacionales. Con este fin se definirán algunos básicos que pueden ser interconectados para formar sistemas complejos.

Nodo Derivador de Señal. Una señal x(n) puede ser derivada en dos líneas diferentes a través del nodo derivador.

Sumador. Sistema que realiza la suma de dos señales x1(n) y x2(n) para formar otra secuencia (en suma) denotada por y(n). No es necesario almacenar ninguna de las secuencias para realizar la suma. En otras palabras, es una operación sin memoria.

Escalado. Consiste simplemente en aplicar un factor de escala a la entrada x(n). Se trata también de una operación sin memoria.

Multiplicador. Multiplicación de dos señales, x1(n) y x2(n) para formar otra secuencia (en producto), que se denota por y(n). Como en los casos previos, la operación de multiplicación de señales es una operación sin memoria.

Retardador de Señal. El retardador de señal es un sistema especial que retrasa una posición la señal que pasa por él. Si la señal de entrada es x(n), la salida es x(n – 1). De hecho, la muestra x(n – 1) se almacena en memoria en el instante n – 1 y se extrae de la memoria en el instante n para formar y(n) = x(n – 1), por tanto, el bloque básico si tiene memoria. El uso del símbolo z–1 para denotar el retardador de una muestra de la señal se entenderá al estudiar la transformada z.

Adelantador de Señal. Al contrario que el retardador de señal, el adelantador de señal adelanta una muestra a la entrada x(n) en tiempo para producir x(n + 1).

El operador z se usa para denotar el avance de una muestra en el tiempo. Debe observarse que dicho avance es imposible en tiempo real, dado que, de hecho, implica conocer el futuro de la señal. Por otra parte, si almacenamos la señal en un ordenador, se dispone de todas las muestras en cualquier momento. En aplicaciones de estas características, que no se desarrolla en tiempo real, es factible adelantar la señal x(n) en el tiempo.

La implementación de bloques de los sistemas en tiempo discreto son ampliamente utilizados en el procesamiento.